💻 Binär-Rechner

Im Alltag rechnen wir im Dezimalsystem mit zehn Ziffern (0–9) — vermutlich, weil wir zehn Finger haben. Computer dagegen arbeiten im Binärsystem mit nur zwei Ziffern, 0 und 1. Der Grund liegt in der Technik: Ein elektronischer Schaltkreis unterscheidet zuverlässig nur zwei Zustände — Strom an oder aus, Spannung hoch oder niedrig. Zwei Zustände sind robust gegen Störungen, viele feine Abstufungen wären es nicht.

Aus diesen beiden Ziffern lässt sich jede Zahl darstellen — nur braucht man dafür mehr Stellen. Weil lange Nullen-und-Einsen-Ketten für Menschen unübersichtlich sind, nutzt die Informatik zwei kompaktere Schreibweisen: das Oktalsystem (Basis 8) und vor allem das Hexadezimalsystem (Basis 16). Alle vier Systeme beschreiben dieselben Zahlen, nur in unterschiedlicher Schreibweise. Dieser Rechner wandelt zwischen Dezimal, Binär, Oktal und Hexadezimal um und zeigt den Rechenweg. Die Umrechnung ist immer exakt — es geht keine Information verloren.

Jedes dieser Systeme ist ein Stellenwertsystem: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position ab. Im Dezimalsystem steht die Zahl 425 für 4·100 + 2·10 + 5·1, also für 4·10² + 2·10¹ + 5·10⁰. Die Position bestimmt, mit welcher Potenz der Basis multipliziert wird — ganz rechts steht immer die Position 0 mit dem Wert 1.

Im Binärsystem ist die Basis 2 statt 10. Die Stellen von rechts nach links haben die Werte 1, 2, 4, 8, 16, 32 und so weiter — die Zweierpotenzen. Eine Binärzahl gibt für jede Stelle nur an, ob die zugehörige Zweierpotenz mitzählt (1) oder nicht (0). Genauso funktioniert Hexadezimal mit der Basis 16 und Oktal mit der Basis 8. Der allgemeine Bauplan lautet immer: Wert = Summe aus Ziffer × Basis hoch Position. Wer dieses eine Prinzip verstanden hat, kann jedes Stellenwertsystem umrechnen — unabhängig von der Basis.

Auch wer nicht programmiert, begegnet diesen Systemen häufiger als gedacht. Am sichtbarsten ist Hexadezimal bei Farben im Web: Ein Farbcode wie #FF8800 setzt sich aus drei Bytes für Rot, Grün und Blau zusammen, jeweils als zweistellige Hex-Zahl von 00 bis FF (also 0 bis 255). #FFFFFF ist Weiß, #000000 ist Schwarz.

Hexadezimal taucht außerdem in MAC-Adressen von Netzwerkgeräten auf, in Speicheradressen, in Prüfsummen und Hashwerten (etwa SHA-256) und bei der Darstellung von Bytes ganz allgemein. Binär begegnet einem bei Subnetzmasken in der Netzwerktechnik und überall dort, wo einzelne Schalter oder Statusbits gesetzt werden. Oktal lebt vor allem in den Unix-Dateirechten fort: „chmod 755" beschreibt mit drei Oktalziffern die Lese-, Schreib- und Ausführungsrechte. Gemeinsam ist allen: Sie sind nur eine andere Schreibweise für Zahlen, die ein Computer ohnehin binär verarbeitet.