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Aktualisiert am 21. Oktober 2026

🔢 Bruchrechner

Brüche berechnen: Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren. Mit Rechenweg, Kürzen, Umrechnung und Brüchen dazwischen.

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Brüche verstehen: Zähler, Nenner und die vier Bruchtypen

Ein Bruch beschreibt einen Teil eines Ganzen und besteht aus zwei Zahlen, getrennt durch den Bruchstrich: oben der Zähler, unten der Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt wird; der Zähler, wie viele davon gemeint sind. Bei 3/4 ist das Ganze in vier Viertel geteilt und drei davon ausgewählt.

Vier Typen sind zu unterscheiden: Ein echter Bruch hat einen Zähler kleiner als der Nenner (2/3) und liegt zwischen 0 und 1. Ein unechter Bruch hat einen Zähler größer oder gleich dem Nenner (7/4) und ist mindestens 1. Eine gemischte Zahl schreibt einen unechten Bruch als ganze Zahl plus echten Bruch (1¾). Ein Scheinbruch wie 6/3 kürzt sich vollständig zu einer ganzen Zahl. Zu jeder Aufgabe zeigt der Rechner den vollständigen Rechenweg.

Addition ungleichnamiger Brüche: 1/3 + 2/5

  1. 1
    Hauptnenner bestimmen (kgV der Nenner 3 und 5)kgV(3, 5) = 15= Hauptnenner 15
  2. 2
    Ersten Bruch erweitern (× 5 in Zähler und Nenner)1/3 = (1×5)/(3×5)= 5/15
  3. 3
    Zweiten Bruch erweitern (× 3 in Zähler und Nenner)2/5 = (2×3)/(5×3)= 6/15
  4. 4
    Zähler addieren, Nenner beibehalten5/15 + 6/15= 11/15
  5. 5
    Kürzen prüfen (ggT von 11 und 15)ggT(11, 15) = 1= bereits gekürzt
Das Ergebnis ist 11/15 ≈ 0,733. Nur über den gemeinsamen Hauptnenner werden die beiden Brüche vergleichbar. Der Nenner wird beim Addieren nie mitaddiert — er bleibt 15. Weil 11 und 15 außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, ist der Bruch schon vollständig gekürzt. Zur Kontrolle hilft eine Schätzung: 1/3 ist gut ein Drittel, 2/5 knapp die Hälfte, die Summe muss also etwas über 0,7 liegen — passt zu 0,733.

Subtraktion ungleichnamiger Brüche: 5/6 − 1/4

  1. 1
    Hauptnenner bestimmen (kgV der Nenner 6 und 4)kgV(6, 4) = 12= Hauptnenner 12
  2. 2
    Ersten Bruch erweitern (× 2)5/6 = (5×2)/(6×2)= 10/12
  3. 3
    Zweiten Bruch erweitern (× 3)1/4 = (1×3)/(4×3)= 3/12
  4. 4
    Zähler subtrahieren, Nenner beibehalten10/12 − 3/12= 7/12
Die Subtraktion läuft Schritt für Schritt wie die Addition — nur im letzten Schritt werden die Zähler voneinander abgezogen statt addiert. 7 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, also ist 7/12 bereits vollständig gekürzt. Wird der größere Bruch abgezogen, kann das Ergebnis negativ werden; das Minus gehört dann in den Zähler. Auch hier gilt: erst gleichnamig machen, dann rechnen — die unterschiedlichen Nenner 6 und 4 lassen sich nicht direkt voneinander abziehen.

Hauptnenner und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Addieren und Subtrahieren setzt gleiche Nenner voraus. Sind die Nenner verschieden, bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner — den Hauptnenner. Der kleinstmögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner: die kleinste Zahl, in der beide als Vielfache enthalten sind.

Für 1/3 und 2/5 ist das kgV von 3 und 5 die Zahl 15. Man könnte zwar immer das Produkt der Nenner nehmen, doch bei größeren Zahlen wird das unnötig groß: Für 1/4 + 1/6 ist das Produkt 24, das kgV aber nur 12 — die Rechnung bleibt mit 12 übersichtlicher. Anschließend erweitert man jeden Bruch auf den Hauptnenner, indem Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. Erst dann werden die Zähler addiert oder subtrahiert.

Multiplikation: 2/3 × 3/4

  1. 1
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner2/3 × 3/4 = (2×3)/(3×4)= 6/12
  2. 2
    Ergebnis kürzen (ggT von 6 und 12 ist 6)6/12 = (6÷6)/(12÷6)= 1/2
  3. 3
    Alternative: vor dem Malnehmen über Kreuz kürzen2/3 × 3/4 (die 3 kürzt sich)= 1/2
Multiplizieren ist einfacher als Addieren: einfach geradeaus Zähler und Nenner malnehmen, danach kürzen. Ein gemeinsamer Nenner ist hier ausdrücklich nicht nötig. Noch eleganter ist das Über-Kreuz-Kürzen vor dem Multiplizieren — hier kürzt sich die 3 in Zähler und Nenner weg, sodass die Zwischenzahlen klein bleiben und das Ergebnis oft gar nicht mehr gekürzt werden muss. Anschaulich bedeutet 2/3 × 3/4: drei Viertel werden zu zwei Dritteln genommen, was genau die Hälfte ergibt.

Division durch einen Bruch: 3/4 ÷ 2/5

  1. 1
    Kehrwert des zweiten Bruchs bilden (Zähler und Nenner tauschen)2/5 → 5/2= Kehrwert 5/2
  2. 2
    Mit dem Kehrwert multiplizieren3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2= aus ÷ wird ×
  3. 3
    Zähler und Nenner multiplizieren(3×5)/(4×2)= 15/8
  4. 4
    Als gemischte Zahl darstellen15/8 = 8/8 + 7/8= 1 7/8
Der Merksatz lautet: „Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren." Gestürzt wird immer der zweite Bruch, nie der erste. 15/8 ist ein unechter Bruch und entspricht der gemischten Zahl 1 7/8 = 1,875. Dass das Teilen durch einen Bruch kleiner als 1 das Ergebnis größer macht (3/4 wird zu 15/8), wirkt zunächst überraschend, ist aber richtig: Man fragt, wie oft 2/5 in 3/4 passt — und das ist mehr als einmal.

Die vier Grundrechenarten mit Brüchen im Überblick

OperationVorgehenBeispiel
Addition (+)Auf Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15
Subtraktion (−)Auf Hauptnenner erweitern, dann Zähler subtrahieren5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12
Multiplikation (×)Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, dann kürzen2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
Division (÷)Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

Nur Addition und Subtraktion verlangen gleiche Nenner. Multiplikation und Division funktionieren mit beliebigen Nennern direkt. In allen vier Fällen steht das Kürzen am Ende — nie zwischendrin, solange noch erweitert oder multipliziert wird.

Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen — am besten gleich durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT), die größte Zahl, durch die sich beide ohne Rest teilen lassen. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert, nur die Schreibweise wird einfacher.

Den ggT findet man über die Primfaktorzerlegung oder schneller mit dem euklidischen Algorithmus: Man teilt die größere durch die kleinere Zahl und rechnet mit dem Rest weiter, bis dieser 0 ist. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben — das ist die Standardform für jedes Ergebnis. Wichtig: Gekürzt wird immer am Ende, nie mitten in einer laufenden Addition oder Subtraktion.

Einen Bruch kürzen: 12/18

  1. 1
    Größten gemeinsamen Teiler bestimmenggT(12, 18) = 6= Teiler 6
  2. 2
    Zähler durch den ggT teilen12 ÷ 6= 2
  3. 3
    Nenner durch den ggT teilen18 ÷ 6= 3
  4. 4
    Vollständig gekürzt prüfen (ggT von 2 und 3)ggT(2, 3) = 1= 2/3 endgültig
Mit dem ggT gelingt das Kürzen in einem einzigen Schritt: 12/18 = 2/3. Hätte man nur durch 2 geteilt, käme 6/9 heraus — nicht vollständig gekürzt, weil 6 und 9 noch durch 3 teilbar sind. Erst wenn der ggT von Zähler und Nenner 1 ist, hat der Bruch seine einfachste Form erreicht. Wer den ggT nicht sofort sieht, kann auch schrittweise durch kleine gemeinsame Teiler kürzen (hier erst durch 2, dann durch 3) — das Ergebnis ist dasselbe, nur dauert es länger.

Gemischte Zahl und unechter Bruch umwandeln

  1. 1
    Gemischt → unecht: ganze Zahl mit Nenner malnehmen2¾ → 2 × 4= 8 Viertel
  2. 2
    Zähler addieren — Nenner bleibt gleich(2×4 + 3)/4= 11/4
  3. 3
    Unecht → gemischt: Zähler durch Nenner teilen (ganzzahlig)11 ÷ 4 = 2 Rest 3= ganzer Anteil 2
  4. 4
    Rest über den Nenner anhängen2 + 3/4= 2¾
2¾ und 11/4 bezeichnen exakt denselben Wert (2,75). Vor dem Multiplizieren oder Dividieren wandelt man gemischte Zahlen grundsätzlich in unechte Brüche um — sonst rechnet man versehentlich nur mit dem Bruchteil und verliert den ganzen Anteil. Als Endergebnis ist 2¾ dagegen anschaulicher als 11/4, weil man sofort sieht, dass der Wert knapp unter 3 liegt. Wichtig: Der Bruchanteil einer gemischten Zahl sollte stets ein echter, vollständig gekürzter Bruch sein.

Echte, unechte und gemischte Brüche unterscheiden

TypMerkmalBeispiel
Echter BruchZähler kleiner als Nenner, Wert zwischen 0 und 12/3, 5/8, 11/15
Unechter BruchZähler größer oder gleich Nenner, Wert mindestens 17/4, 15/8, 9/9
Gemischte ZahlGanze Zahl plus echter Bruch1¾ = 7/4
ScheinbruchZähler ist Vielfaches des Nenners, ergibt ganze Zahl6/3 = 2

Gemischte Zahl und unechter Bruch sind nur zwei Schreibweisen desselben Werts. Für Multiplikation und Division wandelt man gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um; als Endergebnis gibt man oft wieder die anschaulichere gemischte Zahl an — mit vollständig gekürztem Bruchanteil. Ein Scheinbruch ist ein Sonderfall des unechten Bruchs, bei dem die Division ohne Rest aufgeht und eine ganze Zahl entsteht.

Brüche zwischen zwei Brüchen finden: zwischen 1/11 und 1/9

  1. 1
    Hauptnenner bestimmen (kgV der Nenner 11 und 9)kgV(11, 9) = 99= Hauptnenner 99
  2. 2
    Beide Brüche erweitern1/11 = 9/99, 1/9 = 11/99= Zähler 9 und 11
  3. 3
    Zähler dazwischen nehmen9 < 10 < 11= 10/99
  4. 4
    Für zwei Brüche: beide mit 2 erweitern9/99 = 18/198, 11/99 = 22/198= 19/198 und 20/198
  5. 5
    Kürzen20/198 = (20÷2)/(198÷2)= 19/198 und 10/99
Zwischen 1/11 ≈ 0,0909 und 1/9 ≈ 0,1111 liegen also zum Beispiel 19/198 ≈ 0,0960 und 10/99 ≈ 0,1010. Mit dem Hauptnenner allein passt nur ein Zähler zwischen 9 und 11; wer mehr Brüche braucht, erweitert beide weiter. Mit 3 liegen schon fünf Zähler dazwischen (28/297 bis 32/297). Zwischen zwei verschiedenen Brüchen gibt es immer unendlich viele weitere. Für genau einen Bruch geht es noch schneller: Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner. (1 + 1)/(11 + 9) = 2/20 = 1/10 liegt zwischen 1/11 und 1/9, und das klappt bei positiven Nennern immer.

Häufige Fehler beim Bruchrechnen — und wie man sie vermeidet

  • Nenner mitaddiert: Bei 1/3 + 1/3 ist das Ergebnis 2/3, nicht 2/6. Beim Addieren werden nur die Zähler addiert, der gemeinsame Nenner bleibt unverändert.
  • Ohne Hauptnenner addiert: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Erst auf den Hauptnenner 6 erweitern (3/6 + 2/6 = 5/6), dann rechnen.
  • Bei der Division nicht gestürzt: 3/4 ÷ 2/5 wird zu 3/4 × 5/2 — der zweite Bruch wird zum Kehrwert, nicht der erste.
  • Gemischte Zahl direkt verrechnet: 2¾ muss vor Multiplikation und Division zu 11/4 werden, sonst fällt der ganze Anteil unter den Tisch.
  • Zu früh oder unvollständig gekürzt: Kürzen gehört ans Ende. Und 12/18 zu 6/9 zu kürzen reicht nicht — vollständig gekürzt ist erst 2/3.
  • Vorzeichen verloren: 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. Wird der größere Bruch abgezogen, ist das Ergebnis negativ; das Minus gehört in den Zähler.

Merkregel: Kürzen immer zuletzt

Kürze nie mitten in einer Additions- oder Subtraktionsrechnung, sondern erst das Endergebnis. Wer beim Erweitern gleichzeitig kürzt, verliert leicht den Überblick über Erweiterungsfaktoren und Hauptnenner. Reihenfolge beim Addieren: Hauptnenner finden → erweitern → Zähler rechnen → einmal am Schluss vollständig kürzen. Beim Multiplizieren ist das Über-Kreuz-Kürzen vor dem Malnehmen dagegen ausdrücklich erlaubt. Gute Kontrolle: Ergebnis am Ende als Dezimalzahl nachrechnen und mit einer groben Schätzung der Ausgangsbrüche vergleichen.

Häufige Fragen

Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichem Nenner?
Zuerst den Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner) bestimmen. Dann beide Brüche erweitern, sodass sie den gleichen Nenner haben. Anschließend die Zähler addieren und das Ergebnis kürzen. Beispiel: 1/3 + 2/5 → 5/15 + 6/15 = 11/15.
Wie kürzt man einen Bruch?
Man teilt Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (GGT). Beispiel: 12/18 — GGT ist 6, also 12÷6 = 2 und 18÷6 = 3 → gekürzter Bruch: 2/3.
Was ist eine gemischte Zahl?
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. 2¾. Sie lässt sich in einen unechten Bruch umwandeln: 2¾ = (2×4+3)/4 = 11/4. Unser Rechner unterstützt die direkte Eingabe gemischter Zahlen.
Wie wandle ich einen Bruch in eine Dezimalzahl um?
Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. Beispiel: 3/4 = 3÷4 = 0,75. Manche Brüche ergeben periodische Dezimalzahlen, z. B. 1/3 = 0,333...
Wie rechnet man eine Dezimalzahl mal einen Bruch?
Die Dezimalzahl zuerst in einen Bruch umwandeln, dann wie gewohnt rechnen. Beispiel: 0,75 × 2/3 — 0,75 = 75/100 = 3/4, also 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2. Im Rechner lässt sich jede Seite der Aufgabe auf „Dezimalzahl“ umstellen; die Umwandlung steht dann im Rechenweg. Periodische Dezimalzahlen wie 0,333… lassen sich so nicht exakt eingeben — dafür den Bruch 1/3 verwenden.
Was ist der größte gemeinsame Teiler (GGT)?
Der GGT ist die größte Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner ohne Rest teilbar sind. Er wird zum Kürzen von Brüchen verwendet. Beispiel: GGT von 12 und 18 ist 6.
Wie dividiert man durch einen Bruch?
Man multipliziert mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhält man, indem Zähler und Nenner getauscht werden. Beispiel: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
Wie finde ich Brüche zwischen zwei Brüchen?
Beide Brüche auf den Hauptnenner bringen und die Zähler dazwischen nehmen. Zwischen 1/11 und 1/9: Hauptnenner 99 ergibt 9/99 und 11/99, dazwischen liegt 10/99. Werden mehr Brüche gebraucht, als Zähler dazwischen passen, erweitert man beide weiter, etwa mit 2: 18/198 und 22/198, dazwischen 19/198, 20/198 = 10/99 und 21/198 = 7/66. Schneller Weg für einen Bruch: Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner, also (1 + 1)/(11 + 9) = 2/20 = 1/10. Im Rechner erledigt das der Reiter „Brüche dazwischen“, mit Rechenweg.

Quellen & Methodik

  1. Bruchrechnung — Grundregeln der ArithmetikStandard-Schulmathematik (Sekundarstufe I); die Regeln zu Hauptnenner (kgV), Kürzen (ggT) und Kehrwert-Division sind allgemeingültig und nicht an eine konkrete Quelle gebunden.

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