🔢 Bruchrechner

Bruchrechnung — Grundlagen einfach erklärt

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler (oben) und dem Nenner (unten). Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile gemeint sind. So bedeutet ¾, dass ein Ganzes in 4 Teile geteilt wurde und 3 davon genommen werden.

Brüche begegnen uns überall im Alltag: beim Kochen (½ Liter Milch), beim Einkaufen (¼ kg Käse) und natürlich in der Mathematik. Unser Bruchrechner hilft beim Rechnen, Kürzen, Umwandeln und Vergleichen von Brüchen — immer mit nachvollziehbarem Rechenweg.

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, z. B. 2¾. Das bedeutet 2 + ¾. Um damit zu rechnen, wandelt man sie in einen unechten Bruch um: 2¾ = (2 × 4 + 3) / 4 = 11/4. Unser Rechner unterstützt auch die direkte Eingabe gemischter Zahlen.

Brüche addieren und subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen die Nenner gleich sein. Sind sie es nicht, muss man sie zunächst gleichnamig machen — also auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der einfachste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der beiden Nenner. Man nennt ihn auch Hauptnenner.

• Schritt 1: Hauptnenner bestimmen. Für 1/3 + 2/5 ist das KGV von 3 und 5 gleich 15.
• Schritt 2: Brüche erweitern. 1/3 = 5/15 und 2/5 = 6/15.
• Schritt 3: Zähler addieren (oder subtrahieren). 5/15 + 6/15 = 11/15.
• Schritt 4: Ergebnis kürzen, falls möglich. 11/15 ist bereits gekürzt.

Bei der Subtraktion funktioniert es genauso — nur wird der Zähler subtrahiert statt addiert. Das Ergebnis kann negativ werden, z. B. 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2.

Brüche multiplizieren und dividieren

Die Multiplikation von Brüchen ist einfacher als die Addition: Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

• Multiplikation: a/b × c/d = (a × c) / (b × d). Beispiel: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.
• Tipp: Vor dem Multiplizieren kann man diagonal kürzen (Kreuzkürzung). Das vereinfacht die Rechnung und vermeidet große Zahlen.

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrwert multipliziert. Den Kehrwert erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

• Division: a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c). Beispiel: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
• Merksatz: „Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren."

Brüche kürzen — so geht's

Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (GGT) teilt. Das Ergebnis ist ein gleichwertiger Bruch in seiner einfachsten Form.

• Beispiel: 12/18 — der GGT von 12 und 18 ist 6. Also: 12 ÷ 6 = 2 und 18 ÷ 6 = 3. Ergebnis: 2/3.
• Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben (außer 1).

Um den GGT zu finden, kann man die Primfaktorzerlegung verwenden oder den Euklidischen Algorithmus anwenden. Unser Rechner berechnet den GGT automatisch und zeigt, durch welche Zahl gekürzt wurde.

Bruch in Dezimalzahl umwandeln und umgekehrt

Die Umwandlung zwischen Bruch und Dezimalzahl ist häufig gefragt:

• Bruch → Dezimal: Einfach den Zähler durch den Nenner teilen. 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Manche Brüche ergeben periodische Dezimalzahlen: 1/3 = 0,333... = 0,3̄.
• Dezimal → Bruch: Die Dezimalzahl als Bruch über einer Zehnerpotenz schreiben und kürzen. 0,75 = 75/100. GGT von 75 und 100 ist 25, also: 75/100 = 3/4.

Bei periodischen Dezimalzahlen ist die Umwandlung komplizierter. Zum Beispiel: 0,333... = 1/3. Unser Rechner erkennt gängige Dezimalzahlen und wandelt sie korrekt um.

Bruchrechnung ist eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik. Wer Brüche sicher beherrscht, hat es in Algebra, Prozentrechnung und vielen Anwendungsbereichen leichter.