🔢 ggT/kgV-Rechner

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte Zahl, durch die sich alle ohne Rest teilen lassen. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist umgekehrt die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller beteiligten Zahlen ist. Für 84 und 60 ist der ggT 12 (beide sind durch 12 teilbar) und das kgV 420 (die kleinste Zahl, die sowohl in der 84er- als auch in der 60er-Reihe vorkommt).

Beide Begriffe sind keine reine Theorie, sondern Alltagswerkzeuge der Bruchrechnung. Mit dem ggT kürzt man Brüche auf die einfachste Form, mit dem kgV bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um sie zu addieren. Auch beim gleichmäßigen Aufteilen hilft der ggT — etwa wenn man 84 rote und 60 blaue Stifte in möglichst viele gleich große Sets ohne Rest packen will. Dieser Rechner bestimmt ggT und kgV, zeigt den Rechenweg über den euklidischen Algorithmus und listet Teiler sowie Primfaktoren auf.

Hinter dem Verfahren steckt eine einfache Einsicht: Jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist auch ein Teiler ihres Rests bei der Division. Wenn also 12 sowohl 84 als auch 60 teilt, dann teilt 12 auch den Rest 24 — und damit verschiebt sich die Frage nach dem ggT auf ein kleineres Zahlenpaar, ohne dass sich der ggT ändert.

Diese Verkleinerung wiederholt man so lange, bis der Rest null wird. Das muss irgendwann passieren, weil die Reste bei jedem Schritt echt kleiner werden und nicht unter null fallen können. Die letzte Zahl vor dem Rest null teilt dann beide Ausgangszahlen — und ist die größtmögliche solche Zahl, also der ggT. Der Gedanke ist über zweitausend Jahre alt und stammt aus den Elementen des Euklid; der Algorithmus gehört bis heute zu den effizientesten überhaupt und steckt etwa in Verfahren der modernen Verschlüsselung. Man braucht dafür weder Primfaktoren noch Teilerlisten — nur Division mit Rest.

Die wichtigste Anwendung von ggT und kgV ist die Bruchrechnung. Zum Kürzen eines Bruchs teilt man Zähler und Nenner durch ihren ggT — das Ergebnis ist der wertgleiche, aber einfachste Bruch. Aus 84/60 wird so durch Teilen durch 12 der gekürzte Bruch 7/5. Kleiner geht es nicht, weil 7 und 5 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.

Beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern braucht man dagegen das kgV: Es liefert den kleinsten gemeinsamen Nenner. Für 1/4 und 1/6 ist das kgV von 4 und 6 die Zahl 12 — beide Brüche werden auf Zwölftel erweitert und lassen sich dann einfach zusammenzählen. Diese beiden Handgriffe — kürzen mit dem ggT, gleichnamig machen mit dem kgV — begegnen einem in der Schule ständig und sind der eigentliche Grund, warum man ggT und kgV überhaupt lernt. Der Rechner liefert beide Werte auf einen Blick.

ggT und kgV lassen sich auch für mehr als zwei Zahlen bestimmen — und zwar schrittweise. Man berechnet zunächst den ggT der ersten beiden Zahlen, dann den ggT dieses Ergebnisses mit der dritten Zahl, und so weiter. Genauso verfährt man beim kgV. Das Ergebnis hängt nicht von der Reihenfolge ab.

Ein Beispiel: Für 12, 18 und 30 ist der ggT von 12 und 18 die 6, und der ggT von 6 und 30 ist wieder 6 — also ist 6 der ggT aller drei Zahlen. Beim kgV rechnet man entsprechend: kgV(12, 18) = 36, dann kgV(36, 30) = 180. Diese paarweise Vorgehensweise ist genau das, was der Rechner intern macht, wenn man mehrere Zahlen eingibt (er verarbeitet bis zu vier). So lässt sich etwa der kleinste gemeinsame Nenner für die Addition dreier Brüche auf einmal finden, ohne jede Kombination einzeln durchprobieren zu müssen.