Aktualisiert am 21. Mai 2026
🔢 ggT/kgV-Rechner
Größten gemeinsamen Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen.
ggT
12
Größter gemeinsamer Teiler
kgV
72
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Euklidischer Algorithmus
Primfaktorzerlegung
Teilermengen
War dieser Rechner hilfreich?
So funktioniert der ggT/kgV-Rechner
Formel
kgV(a, b) = |a × b| ÷ ggT(a, b) | Euklid: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b)
Rechenbeispiel
ggT(24, 36) = 12. kgV(24, 36) = 24 × 36 ÷ 12 = 72. Primfaktoren: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3².
Was berechnet der ggT/kgV-Rechner?
Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von bis zu vier Zahlen gleichzeitig. Er zeigt den Rechenweg über den Euklidischen Algorithmus, die Primfaktorzerlegung und die vollständigen Teilermengen mit hervorgehobenen gemeinsamen Teilern.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. ggT(24, 36) = 12, denn 12 ist der größte Teiler, der sowohl in 24 als auch in 36 aufgeht. Der ggT wird mit dem Euklidischen Algorithmus berechnet: Man teilt die größere Zahl durch die kleinere und wendet das Verfahren auf den Divisor und den Rest an, bis der Rest 0 ist. Der letzte von Null verschiedene Rest ist der ggT. Für mehr als zwei Zahlen wird der ggT paarweise berechnet: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das kgV zweier Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die von beiden ohne Rest teilbar ist. kgV(4, 6) = 12, denn 12 ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist. Die Berechnung nutzt den Zusammenhang: kgV(a, b) = |a × b| ÷ ggT(a, b). Für mehrere Zahlen wird das kgV ebenfalls paarweise bestimmt.
Euklidischer Algorithmus
Der Euklidische Algorithmus ist eines der ältesten bekannten Verfahren der Mathematik (ca. 300 v. Chr.) und berechnet den ggT effizient ohne Primfaktorzerlegung. Das Prinzip: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b). Beispiel: ggT(36, 24) → 36 = 1 × 24 + 12 → 24 = 2 × 12 + 0 → ggT = 12. Der Algorithmus terminiert immer, weil der Rest in jedem Schritt kleiner wird.
Primfaktorzerlegung und ggT/kgV
Alternativ lassen sich ggT und kgV über die Primfaktorzerlegung bestimmen: Der ggT enthält alle gemeinsamen Primfaktoren mit dem jeweils kleinsten Exponenten, das kgV alle vorkommenden Primfaktoren mit dem jeweils größten Exponenten. Beispiel: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3². ggT = 2² × 3 = 12, kgV = 2³ × 3² = 72.
Praktische Anwendungen
- Brüche kürzen: Der ggT von Zähler und Nenner ist der Kürzungsfaktor. 24/36 kürzen: ggT(24, 36) = 12, also 24/36 = 2/3.
- Brüche addieren: Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner. 1/4 + 1/6: kgV(4, 6) = 12, also 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Zahnräder und Getriebe: Zwei Zahnräder mit 24 und 36 Zähnen greifen alle kgV(24, 36) = 72 Zähne wieder in dieselbe Position.
- Kachelungen und Muster: Ein Raum von 360 × 480 cm lässt sich mit quadratischen Fliesen der Seitenlänge ggT(360, 480) = 120 cm fugenlos fliesen.
- Kryptografie: Der erweiterte Euklidische Algorithmus ist ein Grundbaustein des RSA-Verschlüsselungsverfahrens.