📊 Durchschnittsrechner

Durchschnitt berechnen — Formel und Beispiele

Der Durchschnitt (auch Mittelwert genannt) ist die am häufigsten verwendete Kennzahl in der Statistik. Er fasst eine Reihe von Zahlen in einem einzigen Wert zusammen. Die Berechnung ist einfach: Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.

Formel: Durchschnitt = (Wert₁ + Wert₂ + ... + Wertₙ) / n

Beispiel: Die Werte 4, 7, 2, 9 und 5 ergeben: (4 + 7 + 2 + 9 + 5) / 5 = 27 / 5 = 5,4. Der Durchschnitt dieser fünf Zahlen ist 5,4.

Der Durchschnitt wird überall verwendet: bei Schulnoten, Temperaturangaben, Gehältern, Messwerten und vielen anderen Anwendungen. Unser Rechner zeigt neben dem Durchschnitt auch den Rechenweg und weitere statistische Kennzahlen wie Summe, Minimum, Maximum, Spannweite und Standardabweichung.

Arithmetisches vs. gewichtetes Mittel

Das arithmetische Mittel behandelt alle Werte gleich — jeder Wert hat das gleiche Gewicht. Das ist passend, wenn alle Messwerte die gleiche Bedeutung haben.

Das gewichtete Mittel gibt bestimmten Werten mehr Bedeutung als anderen. Jedem Wert wird ein Gewichtungsfaktor zugeordnet. Die Formel lautet:

Gewichtetes Mittel = (Wert₁ × Gewicht₁ + Wert₂ × Gewicht₂ + ...) / (Gewicht₁ + Gewicht₂ + ...)

Ein typisches Beispiel ist der Notendurchschnitt, bei dem manche Fächer doppelt oder dreifach zählen. Note 2 mit Gewicht 3 und Note 4 mit Gewicht 1 ergeben: (2×3 + 4×1) / (3+1) = 10/4 = 2,5.

Was ist der Median?

Der Median (Zentralwert) ist der mittlere Wert einer sortierten Zahlenreihe. Er teilt die Daten in zwei gleich große Hälften: Die eine Hälfte ist kleiner, die andere größer als der Median.

So wird der Median berechnet: 1. Alle Werte der Größe nach sortieren. 2. Bei ungerader Anzahl: Der mittlere Wert ist der Median. 3. Bei gerader Anzahl: Der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Beispiel (ungerade): 2, 4, 5, 7, 9 → Median = 5 (der dritte von fünf Werten). Beispiel (gerade): 2, 4, 7, 9 → Median = (4 + 7) / 2 = 5,5.

Der Median ist robuster als der Mittelwert gegenüber Ausreißern. Beispiel: Die Werte 3, 4, 5, 6, 100 haben den Mittelwert 23,6 — aber der Median ist 5. Der Median beschreibt hier die Datenlage deutlich besser.

Was ist der Modus (Modalwert)?

Der Modus ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Er kann auch bei nicht-numerischen Daten bestimmt werden (z. B. die häufigste Augenfarbe in einer Klasse).

• Bei den Werten 2, 3, 4, 4, 5 ist der Modus = 4 (kommt zweimal vor).
• Es kann mehrere Modi geben: 1, 2, 2, 3, 3 → Modi: 2 und 3 (bimodal).
• Wenn alle Werte gleich oft vorkommen, gibt es keinen Modus.

Der Modus ist besonders nützlich bei kategorialen Daten und bei der Frage „Was ist der typische Wert?". In der Praxis wird er seltener verwendet als Mittelwert und Median.

Standardabweichung einfach erklärt

Die Standardabweichung misst, wie stark die einzelnen Werte vom Durchschnitt abweichen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Werte liegen nah am Mittelwert. Eine große Standardabweichung bedeutet: Die Werte streuen stark.

Die Berechnung erfolgt in drei Schritten: 1. Für jeden Wert die Abweichung vom Mittelwert berechnen und quadrieren. 2. Den Durchschnitt dieser quadrierten Abweichungen bilden (= Varianz). 3. Die Quadratwurzel der Varianz ziehen (= Standardabweichung).

Beispiel: Werte 4, 7, 2, 9, 5 mit Mittelwert 5,4. Abweichungen²: 1,96 + 2,56 + 11,56 + 12,96 + 0,16 = 29,2. Varianz = 29,2/5 = 5,84. Standardabweichung = √5,84 ≈ 2,42.

In der Praxis bedeutet das: Die meisten Werte liegen im Bereich 5,4 ± 2,42, also zwischen 2,98 und 7,82.