Aktualisiert am 21. Mai 2026
🔢 Primzahl-Rechner
Primzahlen prüfen und finden: Ist eine Zahl prim? Primfaktorzerlegung und Primzahlen in einem Bereich.
✓ Primzahl
97 ist eine Primzahl — kein Teiler bis √97 ≈ 9 gefunden.
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So funktioniert der Primzahl-Rechner
Formel
Primzahl-Check: Teste Teilbarkeit bis √n | Primfaktorzerlegung: Wiederholte Division durch kleinste Primteiler | Bereich: Sieb des Eratosthenes
Rechenbeispiel
Beispiel: 360 = 2³ × 3² × 5 (Primfaktorzerlegung) | 97 ist eine Primzahl (kein Teiler bis √97 ≈ 9) | Zwischen 1 und 100 gibt es 25 Primzahlen
Primzahlen — Grundbausteine der Mathematik
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die ersten Primzahlen lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 … Die 2 ist die einzige gerade Primzahl — alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Primzahlen sind die Grundbausteine der natürlichen Zahlen: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (Fundamentalsatz der Arithmetik).
Primzahl-Check — ist eine Zahl prim?
Um zu prüfen, ob eine Zahl n prim ist, muss man nur testen, ob sie durch Primzahlen bis zur Wurzel von n teilbar ist. Wenn kein Teiler gefunden wird, ist n prim. Beispiel: Ist 97 prim? √97 ≈ 9,85. Wir testen: 97 ÷ 2 = 48,5 (nicht ganzzahlig), 97 ÷ 3 = 32,3…, 97 ÷ 5 = 19,4, 97 ÷ 7 = 13,9. Kein Teiler gefunden — 97 ist eine Primzahl.
Primfaktorzerlegung — so funktioniert's
Bei der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt. Man teilt wiederholt durch den kleinsten Primteiler, bis 1 übrig bleibt. Beispiel: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ist prim. Also: 360 = 2³ × 3² × 5. Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig — es gibt nur eine Möglichkeit, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen (bis auf die Reihenfolge).
Anwendungen der Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung ist kein reines Schulthema — sie hat praktische Anwendungen:
- ggT und kgV berechnen: Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ergibt sich aus den gemeinsamen Primfaktoren mit dem jeweils kleinsten Exponenten. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aus allen Primfaktoren mit dem jeweils größten Exponenten.
- Brüche kürzen: Den Zähler und Nenner durch ihren ggT teilen — dafür braucht man die Primfaktorzerlegung.
- Kryptographie: Die RSA-Verschlüsselung basiert darauf, dass es extrem schwierig ist, sehr große Zahlen (mehrere hundert Stellen) in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Sieb des Eratosthenes — Primzahlen in einem Bereich finden
Das Sieb des Eratosthenes ist ein antiker Algorithmus (ca. 240 v. Chr.), um alle Primzahlen bis zu einer Obergrenze effizient zu finden. Man beginnt mit 2 und streicht alle Vielfachen von 2, dann alle Vielfachen von 3, dann von 5 und so weiter. Die übrig gebliebenen Zahlen sind die Primzahlen. Unser Rechner nutzt dieses Verfahren für den Modus „Primzahlen im Bereich".
Bekannte Fakten über Primzahlen
- Es gibt unendlich viele Primzahlen (bewiesen von Euklid, ca. 300 v. Chr.).
- Zwischen 1 und 100 gibt es 25 Primzahlen, zwischen 1 und 1.000 sind es 168.
- Die größte bekannte Primzahl (Stand 2024) hat über 41 Millionen Stellen.
- Primzahlen werden mit zunehmender Größe seltener, es gibt aber keine größte Lücke — nach dem Satz von Bertrand gibt es zwischen n und 2n immer mindestens eine Primzahl.
- Primzahlzwillinge sind Paare wie (11, 13) oder (29, 31), bei denen der Abstand genau 2 beträgt. Ob es unendlich viele gibt, ist ein offenes Problem.